อเบอร์กาเวนนีมีฉากแห่งธรรมชาติอันสวยสดงดงาม อย่างเช่นภูเขาสเกอร์ริด ชูการ์ ลอฟ และบลอเรนจ์ และอยู่บริเวณขอบของอุทยานแห่งชาติเบรคอน บีคอนส์ ที่นี่มีหลักฐานของการย้ายถิ่นฐานของชาวโรมันเข้ามาอยู่ในอเบอร์กาเวนนี และปราสาทของเมืองนี้ โบสถ์เซนต์แมรี่ ไพรออรี่ที่ก่อสร้างขึ้นในสมัยศตวรรษที่ 11 และมีผลงานการแกะสลักอย่างดีและอนุสาวรีย์ต่างๆ โบสถ์แห่งนี้นับว่าเป็นโบสถ์แห่งหนึ่งที่ดีที่สุดในสหราชอาณาจักรเลยทีเดียว
จุดเด่นของเมืองได้แก่ศาลากลางเมืองและมาร์เก็ต ฮอลล์ที่เก่าแก่ ซึ่งก่อสร้างขึ้นในช่วงราวๆปี 1807 ในปัจจุบันนี้ ชั้นล่างของอาคารเป็นตลาดในร่มและทุกวันอาทิตย์ที่ลานจอดรถของศาลากลางก็ใช้เป็นสถานที่ค้าขายสินค้าที่หลากหลาย นับตั้งแต่ผัก ผลไม้ ไปจนถึงผลงานศิลปะและงานหัตถกรรม เทศกาลอาหารประจำปีที่จัดขึ้นในเดือนกันยายนนั้น เป็นงานที่เฉลิมฉลองผลิตผลจากชาวบ้านที่ยิ่งใหญ่ของเมือง นอกจากนี้ ยังมีการเปิดสอนหลักสูตรการทำอาหารจากเชฟชื่อดังระดับโลก อีกทั้งมีการสาธิตการทำอาหารและเปิดโอกาสให้ผู้สนใจได้ชิมฟรีอีกด้วย
อเบอร์กาเวนนีเป็นเมืองที่เหมาะอย่างยิ่งในการสำรวจเบรคอน บรีคอนส์ มีเส้นทางเดินเพื่อการเที่ยวชมธรรมชาติหลายเส้นทาง รวมถึงบีคอนส์ เวย์และออฟฟา ไดก์ แพท หรือเส้นทางเดินที่สงบเงียบที่เลาะเลียบริมคลองเบรคอนและเมาน์เมาธ์เชอร์
ขณะที่คุณพักอยู่ที่เมืองนี้ อย่าลืมขับรถออกไปตามเส้นทางกอสเพล พาสและแวะชมแลนโทนี ไพรออรี่ ซึ่งเป็นศาสนสถานที่สร้างขึ้นในศตวรรษที่ 12 โดยอัศวินนอร์มัน ซึ่งประทับใจในความงามทางธรรมชาติของเมืองนี้